IL MODELLO DI BLACK-SCHOLES
Il modello di
Black-Scholes-Merton, noto anche semplicemente come modello di Black-Scholes, è
un approccio matematico utilizzato per descrivere l'andamento nel tempo
dei prezzi di strumenti finanziari, specialmente delle opzioni. La
formula di Black e Scholes è una formula matematica che calcola il prezzo di
equilibrio delle opzioni partendo dall'assunto che nel mercato non esistano
opportunità di arbitraggio. La formula matematica può essere derivata dalle
ipotesi del modello, ovvero:
1.
Il prezzo del sottostante segue
un moto browniano geometrico;
2.
È consentita la vendita allo
scoperto del sottostante, come dello strumento derivato;
3.
Non sono ammesse opportunità d'arbitraggio;
4.
Il sottostante e lo strumento
derivato sono scambiati sul mercato in tempo continuo;
5.
Non esistono costi di
transazione, tassazione, né frizioni di altri tipo nel mercato;
6.
Vige la perfetta divisibilità di tutte le
attività finanziarie;
7.
Il tasso d'interesse privo di rischio è
costante e uguale per tutte le scadenze.
In formule..
Il prezzo di un'opzione
call europea è dato da:
Mentre, per un'opzione put europea,
l'espressione è:
Dove:
·
P è il
prezzo dell’opzione put.
·
C è il
prezzo dell’opzione call.
·
S0 è il prezzo dell'attività sottostante.
·
K è il
prezzo di esercizio dell'opzione.
·
r è il
tasso di interesse privo di rischio.
·
T è il
tempo fino alla scadenza dell'opzione.
·
Φ è la
funzione di distribuzione cumulativa della variabile normale standard.
d1 e d2 sono calcolati come segue:
Il modello di Black-Scholes presenta sia vantaggi che
limitazioni. Di seguito sono riportati alcuni dei vantaggi che lo
caratterizzano:
Stabilisce un framework di pricing: Il modello di
Black-Scholes presenta un approccio strutturato per il pricing delle opzioni, aiutando
gli investitori a calcolare un valore giusto usando un metodo che è stato
testato e funziona.
Agevola la gestione del rischio: Comprendere il
valore teorico delle opzioni aiuta gli investitori a gestire il rischio su
diversi asset, fornendo indicazioni sulle vulnerabilità del portafoglio e sulle
aree che richiedono attenzione.
Aiuta l'ottimizzazione del portafoglio:
Analizzando
i guadagni previsti e i rischi legati alle varie opzioni, il modello aiuta a
migliorare i portafogli, facendo sì che le scelte di investimento siano in
linea con la tolleranza al rischio e gli obiettivi di guadagno.
Migliora l'efficienza di mercato: Il modello
contribuisce all'efficienza e alla trasparenza del mercato, migliorando la
capacità dei trader e degli investitori di determinare prezzi e scambiare
opzioni in modo efficace.
Standardizza il pricing: il modello favorisce
uniformità e confrontabilità nei prezzi tra diversi mercati e aree geografiche.
Mentre per quanto riguarda le limitazioni del modello di
Black-Scholes, ricordiamo:
Applicazione limitata: Il modello è applicabile solo
alle opzioni europee e non considera la possibilità di esercizio anticipato,
come avviene nelle opzioni americane.
Adattabilità limitata ai flussi di cassa: Il
modello ha difficoltà a adattarsi ai cambiamenti nei flussi di cassa reali a
causa delle ipotesi di dividendi costanti e tassi di interesse senza rischi,
che potrebbero non essere realistiche e rendere meno preciso il calcolo dei
futuri flussi di denaro..
Assunzione di volatilità costante: Il modello assume
una volatilità stabile durante la vita dell'opzione, mentre la volatilità di
mercato spesso varia, influenzando l'accuratezza del prezzo.
Concludendo, l'idea chiave dietro
il modello di Black e Scholes è che il prezzo di un derivato finanziario può
essere dedotto in modo implicito dal prezzo dell'attività sottostante che viene
scambiata sul mercato.
Fonti:
https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Black_e_Scholes
https://it.wikipedia.org/wiki/Modello_di_Black-Scholes-Merton
https://www.investopedia.com/terms/b/blackscholes.asp#toc-how-the-black-scholes-model-works
